战国秦汉测地制图的技术运用——从放马滩秦墓大木尺说起

专家导读

中国早期地图的绘制是否用到测算，在地图史学界有不同的意见。本文将从甘肃天水放马滩秦墓M1出土的大木尺、算筹、地图和其他文具等文物，与北京大学藏秦简《算书乙种》和传世典籍中的记录相结合，推论这件大木尺是测量工具，同时设想了如何用它测得数据并进而计算距离的方法，认为该墓主有运用木尺测算以绘制地图的能力。本文还讨论了其他测算方法，并在此基础上提出了地图绘制有从步测到测算的发展脉络。本文为中国早期地图史研究提供了新的视角。

内容介绍

战国秦汉地图的绘制过程中，是否应用了测算，向来是地图史研究中的难题。凡有地图必有测绘、精确的战国秦汉地图喻示着先进的技术与工具，这类应然论证，难以让人信服。有地图史研究者一语道破，“掌握这些测量技术和绘制方法不等于这些技术、方法被应用于地图绘制”。放马滩秦墓M1中有大木尺、算筹、地图等器物，串连起了测量、计算、制图。该墓出土了7面木板地图，地图上有多处道里数字。如将地图内容与出土器物合观，或能对地图背后的测算方法与测量工具有所新见。

1 放马滩M1木尺的测算用途与地图绘制

1.1 木尺的形制

放马滩M1出土的木尺，发掘简报描述道：“用一根长条方木制成，长90.5、宽3.2、厚2厘米。一端呈圆形，另一端为柄，柄端削成圆角。正反两面有相同间距的刻度，共26条刻度线，间距2.4厘米，每5度为一组，用‘×’标示。刻度部分长60厘米，为当时二尺半，每尺合今近24厘米。”从器物位置来看，木尺、木板地图、算筹都位于椁室同一侧，且位置相近，表明三者之间或有关联。从器物形制看，放马滩木尺带柄，刻度不精，又长又厚，与常见古尺的用途应当有别。从“带柄”这一特点入眼，一手握于木尺之柄，可以联想到汉代画像石中的持矩尺形象与持矩测望。持矩测望是用勾股比率计算。这一姿态，有助于认识大木尺的测算用途。

1.2 木尺的测算功能

放马滩大木尺仅有一边，一手持木尺柄，也可如L形矩尺一般测望计算。《周髀算经》所载“偃矩以望高”、“覆矩以测深”的矩尺测算，即利用勾股比率求得待测值。手持木尺，也能形成同样的矩尺结构（图1）。

图1 “偃矩以望高”（左）及持木尺测算（右）示意图

回到放马滩秦墓所处的环境，木尺测高有多样的用途。放马滩地图是林区伐木运输用图。大木尺测高可以做到树木测高（化远为高）、因木望山（化远为高）、因高测远（化高为远）。（1）树木测高，以图1右为例，PQ（即树高–视线高）=AQ·BC/AC，可以很快地测得所需高度。（2）因木望山，算题见于《九章算术》，通过两次“偃矩以望高”来放大矩尺形，就实现了大尺度的高程测量。（3）因高测远（化高为远），以大树或高楼之类为原点Q，就近测得高度PQ之后，走到任意待测点A，就可以化高为远。

1.3 测算应用于古地图的可能性

放马滩地图所见8处道里数字，可见古地图应用测算的可能性。首先，部分道里有着同一起测点，反映了原点—方位法的运用，中古地图就大量应用了多级原点与方位里程数据。其次，前述“因高测远（化高为远）”算法，适用于原点—方位法。秦汉古地图中部常有分水岭、高山、城楼等图绘，如取为标志物，测得其高度，走到任意待测点，都可以通过一乘一除、化高为远（图1右，直线距离AQ=PQ·AC/BC）。再者，地图里程比实测里程偏小，而化曲为直的测算会导致数值偏小。

此外，出土地图中还有两类图绘，颇与计算有关。其一是放马滩5号图、马王堆《地形图》与《居葬图》所见山体轮廓。这些山体轮廓反映出古地图对高程的重视。其二是城邑等建筑。兆域图、府宅图标明了建筑尺寸，兆域图内部还有严格的比例尺。按比例绘制时，需要频繁计算。

最后，文献中还有古代地图应用了测量与计算的旁证。汉代“举图地形，通利沟渠”的水利地图，绘制前需要“行表”，即测量各处的水位高差。刘宋时民间开渠，用地图记录了“履行”（踏查）、“准望地势”（测量）、“算考”（计算）的成果。

2 测远的简化：战国秦汉时期的测算技术

2.1 测距的需求——以射术为例

北大藏秦简《陈起》篇用弋射距离强调数学的重要性，或可说明计算在测距中的普遍运用。出土弩机的望山（瞄准具）上有一列刻度，射击时根据距离之远近，用相应的刻度来确定射程，也可见测距的需求。弋射弩射的距离测算，都是用到勾股法。

2.2 “立四表”算题所见测远的简化

北大藏秦简《算书乙种》有自题为“望远”的算题，其结构、算法（图2左），与《九章算术·勾股》“木去人”算题完全相同。“木去人”算题测远对象的选取更为灵活，布置四表也更为便捷，反映了立四表测远的简化。

2.3 一贯的测法：立四表测远、卧矩测远所用勾股比率

立四表测远，与“偃矩”、“卧矩”等用矩测望，都是基于三角形相似计算的。秦简“望远”算题，是在测站点一方构造了“树四表”的矩形。参此，卧矩测远也可在测站点一方构造矩形（图2右），使得测量程序更为简易。

图2 北大秦简《算书乙种》“望远”算题（左，邹大海、夏庆卓绘）、《周髀算经》“卧矩以知远”的常规测法（中）、“卧矩以知远”的新测法（右）

2.4 木尺测远

放马滩出土大木尺也可以实现上述测远。以图2右为例，持尺之手前平举，木尺平卧如“卧矩”，与视线高度平齐。C点为人目，AC为视线到手持木尺的距离，AB为木尺刻度。距离DP=DC·AC/AE。其中，DC（步测距离）·AC（约等于臂长）都可以是固定值。使用者仅需记住该固定值，除以刻度AE，做一次除法就能测远，计算上最为简便。

3 放马滩M1墓主的测算能力

墓主的身份应当是秦代的官吏。发掘者推测M1墓主“是士一级的人物”。M1墓主持有7面林业地图，墓区又处于林区交通的枢纽位置，放马滩墓区应当与当地林业有着密切关联，M1墓主则是在此管理木材砍伐与水陆转运的官吏。

从M1出土器物来看，墓主持有的算筹是实用的计算用筹；M1有算筹、地图、木尺、毛笔及笔管的器物组合，反映了墓主的文化素养，墓主有测地并绘图的可能性。放马滩汉初墓还出土了绘制技法相近的纸地图，这一地图传承，可以反推M1墓主的制图技艺。

从时间相近的材料群来看，北大藏秦简的水陆里程简册，“载材者以乙未下行”的木材运输信息，可与放马滩秦地图的林区运输并观。北大藏秦简的原主人掌握了《成田》、《田书》等实务计算，可以推想放马滩M1墓主的数学能力。

4 结论

测地制图的技术运用，是在步测实践中发展起来的。步测与测算比较，步测是基础的、可靠的、但稍显稚拙的；测算则是进步的、快捷的,但有数学门槛。在不同的测量条件、测量精度下，可以用不同测量手段。根据步测传统来否定秦汉地图的测算应用，或许有失偏颇。中国古代的步测传统、政务运行中的步测实践，是孕育测算技术的土壤。